Вправи: 827

827. Знайдіть площу круга, вписаного в рівнобічну трапецію, основи якої дорівнюють 5 см і 3 см.

ABCD — трапеція (ВС ∥ AD), АВ = CD, ВС = 3 см, AD = 5 см.

Проведемо BF ⊥ AD і CN ⊥ AD — висоти трапеції. ∆ABF = ∆DCN (за гіпотенузою і гострим кутом), тоді AF = ND.

FBCN — прямокутник, FN = ВС = 3 см,

тоді AF = AD-BC2 = 5-32 = 1 (см). Оскільки

в трапецію ABCD можна вписати коло,

то АВ + CD = ВС + AD, але АВ = CD,

тоді 2АВ = ВС + AD, АВ = BC+AD2 = 5+32 = 4 (см).

З ∆АВF ВF = h = AB2-AF2 = 42- 12 = 15 (см).

Радіус вписаного кола дорівнює половині висоти трапеції:

r = 12ВF = 152 (см). Тоді площа круга: S = πr² = π • (152) =

= 15π4 (см²).

Відповідь: 15π4 (см²).