Вправи: 696

696. Розв’яжіть ∆ABC, якщо.

Невідомі сторони знайдіть із точністю до сотих сантиметра, а невідомі кути – із точністю до мінути (у разі використання

калькулятора) або з точністю до градуса (у разі використання таблиць).

1) AC² = AB² + BC² – 2AB • BC cos В. Нехай BC = x cм.

8² = 7² + x² – 2 • 7 • x • cos 50°; 64 = 49 + x² – 14x • 0,766;

x² – 10,724х – 15 = 0; D = 10,724² – 4 • 15 ≈ 114,5 – 60 ≈ 54,5;

x ≈ 10,7- 54,52 ≈ 10,7-7,42 ≈ 1,65 або x ≈ 10,7+7,42 ≈ 9,05.

Отже, ВС ≈ 1,65 см або ВС ≈ 9,05 см.

ACsin50° = BCsinA; sin A = BC •sin50°AC.

Якщо BC ≈ 1,65 см, то sin A ≈ 1,65 •0,7668 ≈ 0,1579; ∠A ≈ 9°;

∠C ≈ 180° – (50° + 9°) ≈ 121°.

Якщо BC ≈ 9,05 см, то sin A ≈ 9,05 •0,7668 ≈ 0,8665; ∠A ≈ 60°;

∠C ≈ 180° – (50° + 60°) ≈ 70°.

Відповідь: BC ≈ 1,65 cм, ∠A ≈ 9°, ∠C = 121° або BC ≈ 9,05 cм,

∠A ≈ 60°, ∠C ≈ 70°.

2) BCsin110° = ABsinC; sin C = AB •sin110°BC ≈ 4 •0,93975 ≈ 0,7518;

∠C ≈ 49°.

Оскільки у трикутнику за умовою вже є тупий кут, то значення кута С одне.

∠B ≈ 180° – (∠A + ∠C) ≈ 180° – (110° + 49°) ≈ 21°.

BCsin110° = ACsinB; AC = BC •sin21°sin110° ≈ 5 •0,35840,9397 ≈ 1,91 (см).

Відповідь: ∠C ≈ 49°, ∠В ≈ 21°, АC = ≈ 1,91 cм.

3) BCsinA = ACsinB; sin B = AC •sinABC = 4• sin35°2 ≈ 2 • 0,5736 ≈ 1,147.

Але |sin B| ≤ 1, отже, задача не має розв’язків.

Відповідь: розв’язків немає.

4) AB² = BC² + AC² – 2BC • AC • cos C. Нехай AC = х см, тоді 7² =

= 8² + х² – 2 • 8 • x • 12; х² – 8х + 15 = 0; х = 3 або х = 5.

Отже, АС = 3 см або АС = 5 см.

Якщо АС = 3 см, то cos B = AB2+BC2- AC22AB•BC = 72+ 82- 322 •7 •8 ≈ 49+64-914 •8 ≈

≈ 104112 ≈ 0,9286; ∠B ≈ 22°, ∠A ≈ 180° – (22° + 60°) ≈ 98°.

Якщо АС = 5 см, то cos B = 72+ 82- 522 •7 •8 ≈ 49+64-25112 ≈ 88112 ≈ 0,7857;

∠B ≈ 38°; ∠C ≈ 180° – (38° + 60°) ≈ 82°.

Відповідь: АС = 3 см, ∠В ≈ 22°, ∠С ≈ 98° або АС = 5 см, ∠В ≈22°,

∠С ≈ 82°.