Вправи: 592

592. Розв’яжіть ∆ABC за двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них:

1) BCsin A = ACsinB; sin B = AC •sinABC = 5 •sin80°8 ≈ 5 •0,98488 ≈ 0,6155;

∠B ≈ 37°59‘ або ∠B ≈ 180° – 37°49’ ≈ 141°1’.

Оскільки ∠A + ∠B = 80° + 142°1’ > 180°, то ∠B = 141°1‘ не є розв’язком задачі.

∠С = 180° – (∠A + ∠B) ≈ 180° – (80° + 37°59’) ≈ 62°01’.

ABsinC = BCsinA; AB = BC •sinCsinA = 8 •sin62°01'sin80° ≈ 8 •0,8830,9848 ≈ 7,17 (см).

Відповідь: ∠B ≈ 37°59’, ∠C ≈ 61°01’, AB ≈ 7,17 см.

2) АС² = АВ² + ВС² – 2АВ • ВС • cos В; 10² = 7² + ВС² – 2 • 7 • ВС •

• cos 60°.

Нехай ВС = х см, тоді 100 = 49 + х² – 7х; х² – 7х – 51 = 0; D = 253;

D ≈ 15,9

x ≈ 7+15,92 ≈ 11,45 або x ≈ 7-15,92 — не задовольняє умові х > 0.

Відповідь: ВС ≈ 11,45 см.

АВ — найменша сторона, тому ∠C — гострий.

cos С = AC2+ BC2- AB22AC •BC = 102+ 11,452- 722 •10 •11,45 ≈ 51+131,1229 ≈ 0,7952,

∠C ≈ 37°19’.

∠A = 180° – (∠B + ∠C) ≈ 180° – (60° + 37°18') ≈ 82°41'.

Відповідь: ∠A ≈ 82°41', ∠C ≈ 37°19', ВС ≈ 11,45 см.

3) ВС² = АС² + АВ² – 2АС • АВ • cos А; 2² = 4² + АВ² – 2 • 4 • АВ •

• cos 61°.

Позначимо АВ = х см, тоді х² – 8х • 0,4848 + 12 = 0; х² – 3,88x +

+ 12 = 0; D = 3,88² – 4 • 12 < 0. Отже, задача розв’язків не має.

Відповідь: розв’язків немає.

4) АС² = АВ² + ВС² – 2АВ • ВС • cos В; АВ = x см.

З² = x² + 4² – 2 • 4x • cos 30°; х² – 6,928x + 7 = 0; D ≈ 48 – 28 ≈ 20;

x ≈ 6,93+ 202 ≈ 5,70 або x ≈ 6,93-4,472 ≈ 1,23.

І випадок. АВ ≈ 5,70 см.

BCsinA = ACsinB; sin A = BC •sinBAC = 4 •sin30°3 = 23 ≈ 0,6667; ∠A ≈ 41°49’;

∠C = 180° – (∠A + ∠B) ≈ 180° – (41°49' + 30°) ≈ 108°11'.

Відповідь: AB ≈ 5,70 cм, ∠A ≈ 41°49', ∠C ≈ 108°11’.

II випадок. AB ≈ 1,23 cм.

ABsinC = ACsinB; sin C = AB •sinBAC ≈ 1,23 •sin30°3 ≈ 0,205; ∠C ≈ 11°49’.

∠A = 180° – (∠B + ∠C) ≈ 180° – (30° + 11°49’) ≈ 138°11'.

Відповідь: AB ≈ 1,23 cм, ∠C ≈ 11°49', ∠A ≈ 138°11'.