Вправи: 580

580. (Всеукраїнська математична олімпіада, 1965 р.) З деякої точки кола, описаного навколо прямокутника, проведено перпендикуляри до його діагоналей. Довести, що відстань між основами цих перпендикулярів не залежить від положення точки на колі.

Нехай X — довільна точка кола, О — центр кола, L і М — основи перпендикулярів, проведених з точки X до діагоналей

прямокутника ABCD. Тоді точки L і М належать деякому колу з діаметром ОХ (∠XLO = ∠XMO =

= 90° — вписані кути, що спираються на діаметр).

За теоремою синусів LMsin LXM = ОХ, де ОХ дорівнює двом радіусам добудованого кола.

Але ∠LXM =180° – ∠LOM. Значить, LM = R sin(180° – α) = R sin α

(R = OX, α = ∠LOM).

Оскільки R і α для даних кола і прямокутника твердження задачі доведено.