Вправи: 570

570. Дві сторони трикутника дорівнюють 3 см і 8 см. Знайдіть третю сторону трикутника, якщо вона відноситься до радіуса описаного кола як 3 : 1. Скільки розв’язків має задача?

Нехай а, b і с — сторони даного трикутника, а = 3 см, b = 8 см. За умовою cR = 31, звідки c2R = 32. Але c2R = sin С — синус кута, протилежного стороні с. Отже, sin С = 32, тоді ∠C = 60° або

∠C = 120°.

За теоремою косинусів:

1) якщо ∠C = 60°, то с² = а² + b² – 2аb cos 60° = 9 + 64 – 2 • 3 • 8 •

• 12 = 49, с = 49 = 7 (см);

2) якщо ∠C = 120°, то с² = а² + b² – 2ab cos 120° = а² + b² +

+ 2ab cos 60° = 9 + 64+ 2 • 3 • 8 • 12 = 97, с = 97 см.

Відповідь: 7 см або 97 см.