Відповіді на вправи підручника: 839

839. На кожній стороні а квадрата зовні нього побудовано півколо,

і навколо квадрата описано коло (мал. 262). Обчисліть суму площ

зафарбованих серпків.

Дано: кв–т. ABCD – вписаний в коло; AB = а.

Знайти: 4S_зафар.

Розв'язання

Знайдемо площу півкруга за рад. R = $\frac{a}{2}$.

$\frac{1}{2}$S_кр. = $\frac{1}{2}\pi$R² = $\frac{1}{2}\pi$ • ($\frac{a}{2}$)² = $\frac{1}{2}\pi$ $\frac{a^2}{4}$ = $\frac{a^2\pi }{8}$.

Знайдемо площу сегмента з радіусом r = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$ a $\sqrt{2}$ = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

S_сегм. = $\frac{{\pi R}^{2}n°}{360°}$ – S_∆BOC = $\frac{{\pi a}^2•2•90°}{4•360°}$ – $\frac{a^2}{4}$ = $\frac{a^2\pi }{8}$ – $\frac{a^2}{4}$.

S_зафар. = $\frac{1}{2}$ S_кр. – S_сегм. = $\frac{a^2\pi }{8}$ – ($\frac{a^2\pi }{8}$ – $\frac{a^2}{4}$) = $\frac{a^2}{4}$.

4S_зафар. = 4 • $\frac{a^2}{4}$ = a².

Відповідь: a².