Відповіді на вправи підручника: 836

836. Дуга сегмента містить 120°, а її довжина дорівнює l. Знайдіть площу круга, вписаного в цей сегмент.

Дано: $\cup$AB = l, n = 120°.

Знайти: S_кр., вписаного в сегмент.

Розв'язання

Знайдемо радіус ОА:

l = $\frac{\pi \mathrm{Rn}°}{180°}$ = $\frac{\pi R•120°}{180°}$ = $\frac{2\pi R}{3}$; R = $\frac{3l}{2\pi }$.

OA = $\frac{3l}{2\pi }$. ∆OKA ($\angle$K = 90°):

$\angle$AOK = $\frac{1}{2}\angle$AOB = $\frac{1}{2}$ • 120° = 60°;

$\angle$OAK = 30°: OK = $\frac{1}{2}$OA = $\frac{1}{2}$ • $\frac{3l}{2\pi }$ = $\frac{3l}{4\pi }$ – за властивістю катета, що лежить проти кута 30°.

MK = OM – OK = R – $\frac{3l}{4\pi }$ = $\frac{3l}{2\pi }$ – $\frac{3l}{4\pi }$ = $\frac{3l}{4\pi }$.

Знайдемо радіус круга вписаного в сегмент.

r = $\frac{1}{2}$MK = $\frac{1}{2}$ • $\frac{3l}{4\pi }$ = $\frac{3l}{8\pi }$.

S_кр. = $\pi$r² = $\pi$ • ($\frac{3l}{8\pi }$)² = $\pi$ • $\frac{{9l}^2}{{64\pi }^2}$ = $\frac{{9l}^2}{64\pi }$.

Відповідь: $\frac{{9l}^2}{64\pi }$.