Відповіді на вправи підручника: 834

834. 1) Навколо правильного трикутника з площею Q описано коло, і в цей самий трикутник вписано коло (мал. 259). Знайдіть площу

кільця, обмеженого цими колами, якщо їх радіуси — R і r.

2) Узагальніть задачу для правильного n–кутника.

Дано: ∆АВС – правильний, S_∆ABC = Q; K₁(O; R), K₂(O; r) – описане і вписане кола.

Знайти: S_к.

Розв’язання

S_к∆ = S₁ – S₂ = πR² – πr² = π(R² – r²).

∆BOK (∠K = 90°): BK = $\sqrt{R^2-r^2}$;

BC = 2 • BK = 2$\sqrt{R^2-r^2}$;

BC² = 4 • (R² – r²). За умовою Q = $\frac{{\mathrm{BC}}^2\sqrt{3}}{4}$; BC² = $\frac{4Q}{\sqrt{3}}$. Маємо: $\frac{4Q}{\sqrt{3}}$ = 4 • (R² – r²); R² – r² = $\frac{Q}{\sqrt{3}}$ = $\frac{Q\sqrt{3}}{3}$;

S_к. = π • $\frac{Q\sqrt{3}}{3}$ = $\frac{Q\pi \sqrt{3}}{3}$.

Відповідь: $\frac{Q\pi \sqrt{3}}{3}$.