Відповіді на вправи підручника: 831

831. На малюнках 255 і 256 зображено вписаний у коло й описаний навколо нього правильний трикутник. Обчисліть площі зафарбова–

них частин фігур, якщо радіус кола R, а сторона трикутника — a.

1) Мал. 255: У коло радіуса R вписано правильний трикутник зі стороною а.

S_кр. = $\pi$R², S_∆ = $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, R = $\frac{a\sqrt{3}}{3}$, a = $\frac{3R}{\sqrt{3}}$, S_∆ = $\frac{{9R}^2\sqrt{3}}{3•4}$ = $\frac{3}{4}$R²$\sqrt{3}$, тоді площа S заштрихованої фігури:

S = S_кр – S_∆, S = $\pi$R² – $\frac{3}{4}$ R²$\sqrt{3}$ = R²($\pi$ – $\frac{3}{4}$ $\sqrt{3}$).

2) Мал. 256: Коло радіуса R вписане в правильний трикутник зі стороною а.

R = $\frac{a\sqrt{3}}{6}$, a = $\frac{6R}{\sqrt{3}}$ = 2$\sqrt{3}$R. S_кр. = πR², S_∆ = $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, S_∆ = $\frac{4•3•R^2\sqrt{3}}{4}$ = 3R²$\sqrt{3}$, тоді площа S заштрихованої фігури:

S = S_∆ – S_кр, S = 3R²$\sqrt{3}$ – πR² = R²(3$\sqrt{3}$ – π).

Відповідь: 1) R²($\pi$ – $\frac{3}{4}$ $\sqrt{3}$); 2) R²(3$\sqrt{3}$ – π).