Відповіді на вправи підручника: 837

837. У круговий сектор із центральним кутом 60° вписано коло радіуса r (мал. 260). Знайдіть відношення площі сектора до площі круга, обмеженого цим колом.

За мал. 260 центр кола М, вписаного в сектор, лежить на бісектрисі центрального кута (геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін кута BOA). ОВ = ОА = R; MK = MC = r (K і C – точки дотику кола). Оскільки $\angle$BOA = 60°, то $\angle$COA = $\frac{1}{2}$ • 60° = 30°.

У ∆ОМК MK $\perp$ OA, $\angle$MOK = 30°, тоді MK = $\frac{1}{2}$OM; OC = OM + MC. Оскільки OM = 2r, то R = OC = 2r + r = 3r, отже, r = $\frac{R}{3}$.

S_сект. = $\frac{{\pi R}^{2}n°}{360°}$, S_сект. = $\frac{{\pi R}^2•60°}{360°}$ = $\frac{{\pi R}^2}{6}$. S_кр. = $\pi$r²,

S_кр. = $\pi$ • ($\frac{R}{3}$)² = $\frac{{\pi R}^2}{9}$. $\frac{S_{\mathrm{сект}.}}{S_{\mathrm{кр}.}}$ = $\frac{\frac{{\pi R}^2}{6}}{\frac{{\pi R}^2}{9}}$ = $\frac{9}{6}$ = $\frac{3}{2}$.

Відповідь: 3 : 2.