Відповіді на вправи підручника: 838

838. Три кола радіуса R попарно дотикаються зовні (мал. 261). Обчисліть площу «криволінійного трикутника», обмеженого дугами цих кіл.

Центри О, О₁, О₂ кіл з радіусами R утворюють трикутник OO₁O₂, де OO₁ = О₁О₂ = ОО₂ = 2R. $S_{{\mathrm{OO}}_1{O}_2}$ = $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, (a – сторона),

$S_{{\mathrm{OO}}_1{O}_2}$ = $\frac{{\left(2R\right)}^2\sqrt{3}}{4}$ = $\frac{{4R}^2\sqrt{3}}{4}$ = R²$\sqrt{3}$. Площа S заштрихованої фігури дорівнює різниці площі трикутника і трьох секторів з радіусами R і центральними кутами n° = 60° ($\angle$О = $\angle$О₁ = $\angle$O² = 60° – кути рівностороннього трикутника).

S_сект = $\frac{{\pi R}^{2}n°}{360°}$, S_сект = $\frac{{\pi R}^2•60°}{360°}$ = $\frac{{\pi R}^2}{6}$. S = R² $\sqrt{3}$ – 3.

$\frac{{\pi R}^2}{6}$ = R² $\sqrt{3}$ – $\frac{{\pi R}^2}{2}$ = $\frac{{2R}^2\sqrt{3}-{\pi R}^2}{2}$ = $\frac{R^2(2\sqrt{3}-\pi )}{2}$.

Відповідь: $\frac{R^2(2\sqrt{3}-\pi )}{2}$.