Відповіді на вправи підручника: 824

824. Знайдіть відношення площ вписаного й описаного кругів: 1) для правильного трикутника; 2) для квадрата; 3) для правильного шестикутника.

1) Для правильного трикутника зі стороною а R = $\frac{a\sqrt{3}}{3}$, r = $\frac{a\sqrt{3}}{6}$. Тоді

S_R = π • ($\frac{a\sqrt{3}}{3}$)² = $\frac{{3\pi a}^2}{9}$ = $\frac{{\pi a}^2}{3}$; S_r = π • ($\frac{a\sqrt{3}}{6}$)² = $\frac{{3\pi a}^2}{36}$ = $\frac{{\pi a}^2}{12}$.

Тоді: $\frac{S_R}{S_r}$ = $\frac{\frac{{\pi a}^2}{3}}{\frac{{\pi a}^2}{12}}$ = $\frac{4}{1}$.

2) Для квадрата зі стороною а R = $\frac{a}{\sqrt{2}}$, r = $\frac{a}{2}$. Тоді

S_R = π • ($\frac{a}{\sqrt{2}}$)² = $\frac{{\pi a}^2}{2}$; S_r = π • ($\frac{a}{2}$)² = $\frac{{\pi a}^2}{4}$ • $\frac{S_R}{S_r}$ = $\frac{\frac{{\pi a}^2}{2}}{\frac{{\pi a}^2}{4}}$ = $\frac{4}{2}$ = $\frac{2}{1}$.

3) Для правильного шестикутника зі стороною а: R = a, r = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Тоді S_R = πa², S_r = π • ($\frac{a\sqrt{3}}{2}$)² = $\frac{{3\pi a}^2}{4}$ • $\frac{S_R}{S_r}$ = $\frac{{\pi a}^2}{\frac{{3\pi a}^2}{4}}$ = $\frac{4}{3}$.

Відповідь: 1) 4 : 3; 2) 2 : 1; 3) 4 : 3.