Відповіді на вправи підручника: 739

739. У правильному восьмикутнику зі стороною а сполучено середини чотирьох сторін, узятих через одну, так, що утворився квадрат. Знайдіть сторону цього квадрата.

Дано: восьмикутник;

а₈ = a; A, B, C, D – середини сторін.

Знайти: а₄.

Розв'язання

ОА – радіус вписаного кола в правильний восьмикутник

r = $\frac{a_n}{2\mathrm{tg}\frac{180°}{n}}$ = $\frac{a_8}{2\mathrm{tg}\frac{180°}{8}}$ = $\frac{a}{2\mathrm{tg}\mathrm{22,5}°}$.

ОА – радіус описаного кола навколо правильного чотирикутника ABCD.

R = $\frac{a_n}{2\sin \frac{180°}{n}}$ = $\frac{a_4}{2\sin \frac{180°}{4}}$ = $\frac{a_4}{2\sin 45°}$;

Отже, r₈ = R₄.

$\frac{a}{2\mathrm{tg}\mathrm{22,5}°}$ = $\frac{a_4}{2\sin 45°}$;

a₄ = $\frac{a•2\sin 45°}{2\mathrm{tg}\mathrm{22,5}°}$ = $\frac{a•2\sin \mathrm{22,5}°•{\cos }^2\mathrm{22,5}°}{\sin \mathrm{22,5}}$ = 2a • cos²22,5° = 2a$\frac{1+\cos 45°}{2}$ = a(1 + $\frac{\sqrt{2}}{2}$) = $\frac{a}{2}$ (2 + $\sqrt{2}$).

Відповідь: $\frac{a}{2}$ (2 + $\sqrt{2}$).