Відповіді на вправи підручника: 742

742. Доведіть, що:

1) a₁₂ = R$\sqrt{2-\sqrt{3}}$.

Доведення

R = $\frac{a_n}{2\sin \frac{180°}{n}}$ = $\frac{a_{12}}{2\sin \frac{180°}{12}}$ = $\frac{a}{2\sin 15°}$.

a₁₂ = 2R • sin15° = 2R$\sqrt{\frac{1-\cos 30°}{2}}$ = 2R$\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$ = 2R$\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}$ = R$\sqrt{2-\sqrt{3}}$.

Доведено.

2) r₁₂ = $\frac{R}{2}$ $\sqrt{2+\sqrt{3}}$.

r₁₂ = $\frac{a_n}{2\mathrm{tg}\frac{180°}{n}}$ = $\frac{a_{12}}{2\mathrm{tg}\frac{180°}{12}}$ = $\frac{a_{12}}{2\mathrm{tg}15°}$ = $\frac{R\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\frac{2\sin 30°}{1+\cos 30°}}$ = $\frac{R\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\frac{2•\frac{1}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}}$ = $\frac{R\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\frac{2}{2+\sqrt{3}}}$ = $\frac{R}{2}$ $\sqrt{2-\sqrt{3}}$ • (2 + $\sqrt{3}$) = $\frac{R}{2}$ $\sqrt{2-\sqrt{3}}$ • ($\sqrt{2+\sqrt{3}}$)² = $\frac{R}{2}$ $\sqrt{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}$ • $\sqrt{2+\sqrt{3}}$ = $\frac{R}{2}$ $\sqrt{2+\sqrt{3}}$ .

Доведено.