Відповіді на вправи підручника: 740

740. У правильному 12–кутнику зі стороною а сполучено середини шести сторін, узятих через одну, так, що утворився правильний шестикутник. Знайдіть його сторону.

Дано: правильний 12–кутник; a₁₂ = a; A, B, C, D, E, F – середини сторін 12–кутника.

Знайти: а₆.

Розв'язання

ОА – радіус вписаного кола в правильний 12–кутник

r = $\frac{a_n}{2\mathrm{tg}\frac{180°}{n}}$ = $\frac{a_{12}}{2\mathrm{tg}\frac{180°}{12}}$ = $\frac{a}{2\mathrm{tg}15°}$.

ОА – радіус описаного кола навколо правильного 6–кутника.

R = $\frac{a_n}{2\sin \frac{180°}{n}}$ = $\frac{a_6}{2\sin \frac{180°}{6}}$ = $\frac{a_6}{2\sin 30°}$;

Отже, r₁₂ = R₆.

$\frac{a}{2\mathrm{tg}15°}$ = $\frac{a_6}{2\sin 30°}$;

а₆ = $\frac{a•2\sin 30°}{2\mathrm{tg}15°}$ = $\frac{a•2\sin 15°•{\cos }^{2}15°}{\sin 15°}$ = 2a • cos²15° = 2a$\frac{1+\cos 30°}{2}$ = a(1 + $\frac{\sqrt{3}}{2}$) = $\frac{a}{2}$ (1 + $\sqrt{3}$).

Відповідь: $\frac{a}{2}$ (1 + $\sqrt{3}$).