Відповіді на вправи підручника: 738

738. Три рівні кола, що попарно дотикаються одне до одного, зовні дотикаються до кола радіуса R. Знайдіть радіуси цих кіл, якщо.

Нехай у коло з центром О і радіусом R вписано три кола з центрами O₁, O₂, O₃, які дотикаються між собою. Позначимо їх радіус за r. Тоді ОО₂ = R – r, OO₃ = R – r, O₂O₃ = 2r. $\angle$O₂OO₃ = $\frac{360°}{3}$ = 120°.

Тоді у ∆ОО₂О₃ О₂${О}_3^2$ = О${О}_2^2$ + О${О}_3^2$ – 2ОО₂ • ОО₃ • cos$\angle$O₂OO₃.

4r₂ = (R – r)² + (R – r)² – 2(R – r)(R – r)cos 120°;

4r² = 2(R – r)² – 2(R – r)² • (–$\frac{1}{2}$), 4r² = 3(R – r)²;

4r² = 3(R² – 2Rr + r²), 4r² = 3R² – 6Rr + 3r²; r² + 6Rr – 3R² = 0.

Розв'яжемо рівняння відносно r:

D = 36R² + 4 • 3R² = 48R².

r = $\frac{-6R\pm \sqrt{{48R}^2}}{2}$; r = $\frac{-6R\pm 4R\sqrt{3}}{2}$; r = $\frac{-6R-4R\sqrt{3}}{2}$ < 0, тому

r = $\frac{-6R+4R\sqrt{3}}{2}$ = 2R$\sqrt{3}$ + 3R = R(2$\sqrt{3}$ + 3).

Відповідь: R(2$\sqrt{3}$ + 3).