Відповіді на вправи підручника: 734

734. Від кожної вершини квадрата зі стороною а на його сторонах

відкладено відрізки, що дорівнюють половині його діагоналі

(мал. 226). Здобуті 8 точок послідовно сполучено відрізками. Доведіть, що утворений восьмикутник — правильний.

Нехай сторона квадрата а. За будовою ВЕ = QC = CK = FD = AO = RD = AР = BM = $\frac{а\sqrt{2}}{2}$, тоді BQ = EC = CF = KD = OD = AR = AM = PB = а – $\frac{а\sqrt{2}}{2}$ = $\frac{а}{2}$(2 – $\sqrt{2}$).

Оскільки $\angle$B = $\angle$C = $\angle$D = $\angle$А, то ∆PBQ = ∆ECF = ∆KDO = ∆RAM за двома сторонами і кутом між ними. Тоді PQ = ЕF = KO = RM і $\angle$BQP = $\angle$BPQ = $\angle$CEF = $\angle$CFE = $\angle$DKO = $\angle$DOC = $\angle$ARM = $\angle$AMR. Звідки суміжні їм кути $\angle$PQЕ = $\angle$QЕF = $\angle$EFK = $\angle$FKO = $\angle$KOR = $\angle$ORM = $\angle$RMP = $\angle$MPQ.

QE = FK = OR = MP = q – 2 • $\frac{a}{2}$ (2 – $\sqrt{2}$) = a – a(2 – $\sqrt{2}$) = a – 2a + a$\sqrt{2}$ = a$\sqrt{2}$ – a.

Із прямокутного ∆PBQ ($\angle$B = 90°) маємо: PQ = BQ • $\sqrt{2}$,

PQ = $\frac{a}{2}$ (2 – $\sqrt{2}$) • $\sqrt{2}$ = $\frac{a}{2}$ (2$\sqrt{2}$ – 2) = a$\sqrt{2}$ – a, тобто PQ = QE.

Аналогічно доводимо, що PQ = QE = EF = FK = OK = RO = MR = PM, отже, PQEFKORM – правильний восьмикутник.