Відповіді на вправи підручника: 735

735. Доведіть, що сума відстаней від довільної точки всередині правильного n–кутника до його сторін не залежить від вибору точки.

Доведення

Нехай О – внутрішня точка правильного n–кутника зі стороною а, тоді:

SA₁A₂…A_n = S₁ + S₂ + …+ S_n = $\frac{h_{1}a}{2}$ + $\frac{h_{2}a}{2}$ +…+ $\frac{h_{n}a}{2}$ = $\frac{a}{2}$ (h₁ + h₂ +…+ h_n).

Oтже, сума відстаней від точки O до сторін не залежить від вибору точки.

Доведено.