Відповіді на вправи підручника: 731

731. П’ятикутник ABCDE — правильний (мал. 224). Доведіть, що

п’ятикутник FGHKL — теж правильний.

У задачі 710 було доведено, що $\angle$FAE = $\angle$FEA = $\angle$LED = $\angle$LDE = $\angle$KDC = $\angle$KCD = $\angle$HCB = $\angle$HBC = $\angle$GBA = $\angle$GAB. Тоді рівнобедрені ∆AFE = ∆ELD = ∆CKD = ∆CMB = ∆BGA за стороною (AE = ED = CD = BC = AB) і прилеглими кутами. Тоді FE = LE = DL = DK = CK = CH = BH = BG = AG = AF, а оскільки $\angle$FЕL = $\angle$KDL = $\angle$HCK = $\angle$HBG = $\angle$GAF, то ∆FEL = ∆KDL = ∆HCK = ∆HBG = ∆GAF за двома сторонами і кутом між ними, а отже FL = Kl = HK = HG = GF. $\angle$GFL = $\angle$FLK = $\angle$HKL = $\angle$HGF = $\angle$KHG як вертикальні до рівних кутів $\angle$AFE = $\angle$ELD = $\angle$CKD = $\angle$CHB = $\angle$BGA. Тоді п'ятикутник FGHKL – правильний. Що й треба було довести.