Відповіді на вправи підручника: 723

723. Знайдіть сторону правильного шестикутника та радіус вписаного кола, якщо його менша діагональ дорівнює:

Нехай задано правильний шестикутник ABCDEF з меншою діагоналлю АЕ.

∠AFE = $\frac{180°•(6-2)}{6}$ = 120°.

Із ∆AEF за теоремою косинусів:

AE² = AF² + EF² – 2AF • EF • cos∠AFE,

AE² = 2AF² – 2AF² • cos120°,

AE² = 2AF² – 2AF² • (–$\frac{1}{2}$),

AE² = 2AF² + AF², AE² = 3AF²; AF² = $\frac{{\mathrm{AE}}^2}{3}$, AF = $\sqrt{\frac{{\mathrm{AE}}^2}{3}}$ = $\frac{\mathrm{AE}}{\sqrt{3}}$.

Радіус кола r, вписаного в даний шестикутник, r = $\frac{\mathrm{AF}\sqrt{3}}{2}$,

r = $\frac{\sqrt{\frac{{\mathrm{AE}}^2}{3}}•\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{\sqrt{{\mathrm{AE}}^2}}{2}$ = $\frac{\mathrm{AE}}{2}$.

1) якщо АЕ = 10$\sqrt{3}$ см, то AF = $\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ = 10 (см); r = $\frac{10\sqrt{3}}{2}$ = 5$\sqrt{3}$ (см);

2) якщо АЕ = 12$\sqrt{3}$ см, то AF = $\frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ = 12 (см); r = $\frac{12\sqrt{3}}{2}$ = 6$\sqrt{3}$ (см);

3) якщо АЕ = d, то AF = $\frac{d}{\sqrt{3}}$ = $\frac{d\sqrt{3}}{3}$; r = $\frac{d}{2}$.

Відповідь: 1) AF = 10 см, r = 5$\sqrt{3}$ см; 2) AF = 12 см, r = 6$\sqrt{3}$; 3) AF = $\frac{d\sqrt{3}}{3}$, r = $\frac{d}{2}$.