Відповіді на вправи підручника: 725

725. Спільна хорда двох кіл, що перетинаються, є для одного кола стороною правильного вписаного трикутника, а для другого — стороною правильного вписаного шестикутника. Знайдіть відстань між центрами кіл, якщо хорда дорівнює:

Нехай коло з центрами О і О₁ перетинаються в точках А і В, і АВ – сторона правильного ∆АВС, вписаного в коло з центром О і радіусом ОВ, а також АВ – сторона правильного шестикутника, вписаного в коло з центром О₁ і радіусом О₁В. Знайдемо відстань між центрами кіл ОО₁.

Позначимо довжину АВ за b см, тоді ОВ = $\frac{b\sqrt{3}}{3}$ (радіус описаного кола), О₁В = b (радіус описаного кола). У правильному ∆ABC ∠CBA = 60°; у правильному шестикутнику ∠ABL = $\frac{180°(6-2)}{6}$ = 120°.

Радіуси кіл, описаних навколо правильних многокутників, є бісектрисами його внутрішніх кутів, тоді ∠ОВА = $\frac{60°}{2}$ = 30°, ∠О₁ВА = $\frac{120°}{2}$ = 60°.

У ∆ОВО₁ ∠ОВО₁ = 30° + 60° = 90°.

У прямокутному ∆ОВО₁ О${О}_1^2$ = ОВ² + О₁В²

О${О}_1^2$ = ($\frac{b\sqrt{3}}{2}$)² + b², О${О}_1^2$ = $\frac{b^2•3}{9}$ + b², О${О}_1^2$ = $\frac{{4b}^2}{3}$, О${О}_1^2$ = $\frac{2b}{\sqrt{3}}$.

1) якщо b = 9 см, то ОО₁ = $\frac{2•9}{\sqrt{3}}$ = 6$\sqrt{3}$ (см);

2) якщо b = 3$\sqrt{3}$ см, то ОО₁ = $\frac{2•3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ = 6 (см);

3) якщо b = a, то ОО₁ = $\frac{2а}{\sqrt{3}}$.

Відповідь: 1) 6$\sqrt{3}$ см; 2) 6 см; 3) $\frac{2а}{\sqrt{3}}$.