Відповіді на вправи підручника: 711

711. ABCDEFGH — правильний восьмикутник (мал. 223).

Доведіть, що точки K, L, M, N — вершини квадрата.

У правильного восьмикутника $\angle$А = $\angle$B = $\angle$С = $\angle$D = $\angle$E = $\angle$F = $\angle$M = $\angle$N = $\frac{180°•(8-2)}{8}$ = 135°,

AB = BC = CD = DE = EF = FM = MN = NA. Тоді рівнобедрені ∆ABC = ∆CDE = ∆EFM = ∆MNA за двома сторонами і кутом між ними, і $\angle$BAC = $\angle$BCA = $\angle$DCE = $\angle$DEC = $\angle$FEM = $\angle$FМE = $\angle$NMA = $\angle$NAM = $\frac{180°-135°}{2}$ = 22°30’.

$\angle$BАN = $\angle$BAC + $\angle$CAM + $\angle$NAM = 22°30’ + $\angle$CAM + 22°30’ + $\angle$CAM + 45° = 135°, звідки $\angle$САМ = 135° – 45° = 90°. Аналогічно $\angle$АСЕ =

= 90°, $\angle$CEM = 90° $\angle$AME = 90°.

Із рівності трикутників маємо: AC = CE = ME = AM.

Тоді чотирикутник ACEM – квадрат. Що й треба було довести.