Відповіді на вправи підручника: 710

710. Дано правильний п’ятикутник. Доведіть: 1) усі його діагоналі —

рівні; 2) кожна діагональ паралельна одній з його сторін; 3) на кожній з діагоналей, що перетинаються, є відрізок, що дорівнює стороні п’ятикутника.

Дано: ABCDЕ – п'ятикутник, AB = BC = CD = AE, $\angle$A = $\angle$B = $\angle$C = $\angle$D = $\angle$E.

Довести: 1) AC = CE = BD = AD = BE;

2) BD $\parallel$ АЕ, АС $\parallel$ DE, CE $\parallel$ AB, BE $\parallel$ CD, AD $\parallel$ BC; 3) на кожній із діагоналей при перетині утворюється відрізки, що дорівнюють AB.

Доведення. 1) Розглянемо рівнобедрені ∆ABC, ∆BCD, ∆CDЕ, ∆DEА, ∆ЕAB: AB = BC = CD = EA, BC = CD = EA = AB, $\angle$B = $\angle$C = $\angle$D = $\angle$E = $\angle$A. Тоді за двома сторонами і кутом між ними трикутники рівні, отже AC = BD = CE = DA = BE. Діагоналі правильного п'ятикутника рівні.

2) Із рівності трикутників випливає, що $\angle$BAC = $\angle$BCA = $\angle$CBD = $\angle$CDB = $\angle$DCE = $\angle$DEC = $\angle$EDA = $\angle$EAD = $\angle$АЕВ = $\angle$ABE = 36°, оскільки $\angle$А = $\angle$B = $\angle$C = $\angle$D = $\angle$E = $\frac{180°•3}{5}$ = 108°.

Тоді $\angle$CAD = $\angle$BED = $\angle$BDA = $\angle$ACE = $\angle$DBE = 108° – 2 • 36° = 36°. Розглянемо BD і ЕА та їх січну BE: $\angle$DBE = $\angle$AEB (внутрішні різносторонні кути), тоді BD $\parallel$ AE. Аналогічно доводимо, що СЕ $\parallel$ BA, AC $\parallel$ DЕ, BE $\parallel$ CD, AD $\parallel$ BC.

3) Позначимо точки перетину діагоналей AC і BD – K, AC і BE – F, BD і CE – M, CE і AD – L, BE і AD – N. Розглянемо чотирикутник BMEА: ВМ $\parallel$ АЕ (BD $\parallel$ AE), ME $\parallel$ BA (CE $\parallel$ BA), тоді BMЕA – паралелограм, а отже, його протилежні сторони рівні і BA = ME. Аналогічно доводимо, що BM = AE, AK = DE, ЕF = CD, ND = BC. На кожній із діагоналей, що перетинаються, лежить відрізок, що дорівнює стороні. Що й треба було довести.