Відповіді на вправи підручника: 708

708. Два рівні кола перетинаються так, що центр одного кола лежить на другому колі. Чи можна описати коло навколо чотирикутника, вершинами якого є точки перетину та центри даних кіл? Відповідь поясніть.

Нехай дано коло з центром О, коло з центром О₁; т. О₁ лежить на колі центром О. А і В – точки перетину кіл; ОА = О₁А = OB = O₁B = OO₁. ОО₁ перетинається з AB в точці С.

∆ОАО₁, ∆ОBO₁, ∆AO₁B, ∆AOB – рівнобедрені, С – середина діагоналей AB і OO₁ чотирикутника ОАО₁B. Тоді CO = CO₁ = $\frac{{\mathrm{AO}}_1}{2}$.

∆ACO – прямокутний ($\angle$АОО₁ = 90°), тоді

AC² = ${\mathrm{AO}}_1^2$ – ${\mathrm{CO}}_1^2$, AC² = ${\mathrm{AO}}_1^2$ – ($\frac{{\mathrm{AO}}_1}{2}$)², AC² = $\frac{{3\mathrm{AO}}_1^2}{4}$, AC = $\frac{{\mathrm{AO}}_1}{2}$ $\sqrt{3}$. Тоді CO₁ $\ne$ CA, отже, описати коло навколо ОАО1В не можна.

Відповідь: ні.