Відповіді на вправи підручника: 653

653. Знайдіть площу трикутника, якщо його висоти дорівнюють h_a, h_b, h_c.

Дано: ∆АВС; АМ, ВК, CD – висоти;

AM = h_a; BK = h_b; CD = h_c.

Знайти: S_∆ABC.

Розв’язання

Виразимо сторони трикутника з рівності:

S = $\frac{{\mathrm{ah}}_a}{2}$ = $\frac{{\mathrm{bh}}_b}{2}$ = $\frac{{\mathrm{ch}}_c}{2}$;

a = $\frac{2S}{h_a}$; b = $\frac{2S}{h_b}$; c = $\frac{2S}{h_c}$.

S = $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$;

p = $\frac{1}{2}$($\frac{2S}{h_a}$ + $\frac{2S}{h_b}$ + $\frac{2S}{h_c}$) = S($\frac{1}{h_a}$ + $\frac{1}{h_b}$ + $\frac{1}{h_c}$).

S = $\sqrt{S(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c})•S(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}-\frac{2}{h_a}}$) • $\sqrt{S•(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}-\frac{2}{h_c}}$);

S = S²$\sqrt{(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c})•(\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}-\frac{1}{h_a})(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_c}-\frac{1}{h_b}}$) • $\sqrt{\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}-\frac{1}{h_c}}$) |: S².

$\frac{1}{S}$ = $\sqrt{(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c})•(\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}-\frac{1}{h_a})(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_c}-\frac{1}{h_b})(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c})}$.

Відповідь: $\sqrt{(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c})•(\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}-\frac{1}{h_a})(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_c}-\frac{1}{h_b})(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c})}$.