Відповіді на вправи підручника: 647

647. Бісектриса l прямого кута трикутника утворює з гіпотенузою кут $\alpha$. Знайдіть площу трикутника.

Дано: ∆ABC; $\angle$C = 90°; CK – бісектриса, CK = l; $\angle$CKA = $\alpha$.

Знайти: S_∆ABC.

Розв'язання

Оскільки СК – бісектриса, то $\angle$BCK = $\angle$KCA = 45°.

З ∆CKA: $\angle$A = 180° – ($\angle$KCA + $\angle$CKA) = 180° – ($\alpha$ + 45°) = 135° – $\alpha$.

З ∆АВС: $\angle$B = 90° – $\angle$A = 90° – (135° – $\alpha$) = $\alpha$ – 45°.

S_∆ABC = $\frac{\mathrm{BC}•\mathrm{CA}}{2}$.

За теоремою синусів з ∆СКА: $\frac{\mathrm{CA}}{\sin \alpha }$ = $\frac{\mathrm{CK}}{\mathrm{sinA}}$;

sinA = sin(180° – ($\alpha$ + 45°)) = sin($\alpha$ + 45°);

$\frac{\mathrm{CA}}{\sin \alpha }$ = $\frac{l}{\sin (\alpha +45°)}$; CA = $\frac{l•\sin \alpha }{\sin (\alpha +45°)}$.

За теоремою синусів з ∆ВКС: $\frac{\mathrm{BC}}{\sin \angle \mathrm{BKC}}$ = $\frac{\mathrm{CK}}{\mathrm{sinB}}$;

$\angle$ВКС = 180° – $\alpha$ – як суміжний з $\angle$СКА.

$\frac{\mathrm{BC}}{\sin (180°-\alpha )}$ = $\frac{l}{\sin (\alpha -45°)}$; BC = $\frac{l•\sin \alpha }{\sin (\alpha -45°)}$.

S_∆ABC = $\frac{l^2{\sin }^2\alpha }{2\sin (\alpha -45°)•\sin (\alpha +45°)}$.

Відповідь: $\frac{l^2{\sin }^2\alpha }{2\sin (\alpha -45°)•\sin (\alpha +45°)}$.