Відповіді на вправи підручника: 642

642. Дві сторони трикутника дорівнюють 17 см і 21 см, а медіана, проведена до третьої сторони, — 5 см. Знайдіть площу трикутника.

Якщо у трикутника a = 17 см, b = 21 см, m_c = 5 см, то

m_c = $\frac{1}{2}$ $\sqrt{{2a}^2+{2b}^2-c^2}$; 2m_c = $\sqrt{{2a}^2+{2b}^2-c^2}$;

${4m}_c^2$ = 2a² + 2b² – c²; c² = 2a² + 2b² – ${4m}_c^2$.

Тоді c² = 2 : 17² + 2 • 21² – 4 • 5², c² = 578 + 882 – 100,

c² = 1360, c = 4$\sqrt{85}$, p = $\frac{a+b+c}{2}$, p = $\frac{17+21+4\sqrt{85}}{2}$ = 19 + 2$\sqrt{85}$.

S = $\sqrt{(19+2\sqrt{85})(19+2\sqrt{85}-17)(19+2\sqrt{85}-21)(19+2\sqrt{85}-4\sqrt{85})}$ = $\sqrt{(19+2\sqrt{85})(19-2\sqrt{85})(2+2\sqrt{85})(2\sqrt{85}-2)}$ = $\sqrt{({19}^2-(2\sqrt{85}{)}^2\left)\right((2\sqrt{85}{)}^2-2^2)}$ = $\sqrt{(361-340)(340-4)}$ = $\sqrt{21•336}$ = 84 (см²).

Відповідь: 84 см².