Відповіді на вправи підручника: 598

598. Знайдіть діагоналі трапеції, якщо її основи дорівнюють 23,8 см

і 43,5 см, а кути при більшій основі — 64° і 71°.

Розв’язання

Проведемо СК ∥ АВ, тоді KD = AD – BC = 46,5 – 23,5 = 20 (см).

∠CKD = ∠A = 64° – як відповідні кути.

∠KCD = 180° – (∠D + ∠CKD) = 180° – (71° + 64°) = 45° – за теоремою про суму кутів трикутника.

За теоремою синусів з ∆KCD: $\frac{\mathrm{CK}}{\mathrm{sinD}}$ = $\frac{\mathrm{KD}}{\sin \angle \mathrm{KCD}}$;

CK = $\frac{\mathrm{KD}•\mathrm{sinD}}{\sin \angle \mathrm{KCD}}$ = $\frac{20•\sin 71°}{\sin 45°}$ = $\frac{20•\mathrm{0,9455}}{\mathrm{0,7}}$ = 27 (см);

АВ = СК = 27 см.

За теоремою синусів з ∆KCD: $\frac{\mathrm{CD}}{\sin \angle \mathrm{CKD}}$ = $\frac{\mathrm{KD}}{\sin \angle \mathrm{KCD}}$;

CD = $\frac{\mathrm{KD}•\sin \angle \mathrm{CKD}}{\sin \angle \mathrm{KCD}}$ = $\frac{20•\sin 64°}{\sin 45°}$ = $\frac{20•\mathrm{0,8988}}{\mathrm{0,7}}$ = 25,68 (см).

За теоремою косинусів з ∆DAB:

BD² = AB² + AD² – 2 • AB • AD • cosA = 27² + 43,5² – 2 • 27 • 43,5 • cos 64° = 729 + 1892,25 – 2349 • 0,4384 = 1591,45.

BD = $\sqrt{\mathrm{1591,45}}$ ≈ 39,9 (см).

За теоремою косинусів з ∆ACD:

AC² = AD² + CD² – 2 • AD • CD • cosD = 43,5² + 25,68² – 2 • 43,5 • 25,68 • cos 71° = 1892,25 + 659,46 – 2234,16 • 0,3256 = 1824,27.

AC = $\sqrt{\mathrm{1824,27}}$ ≈ 42,7 (см).

Відповідь: 39,9 см; 42,7 см.