Відповіді на вправи підручника: 596

596. Всередині кута А з градусною мірою 60° позначено точку М на відстанях а і b від сторін кута. Знайдіть відстань АМ.

Розв’язання

Оскільки ∠С + ∠К = 180°, то гострокутник АСМК – вписаний в коло з діаметром АМ. Нехай радіус кола дорівнює R.

∠СОК = 2 • ∠А = 2 • 60° = 120° – як центральний кут.

За теоремою косинусів з ∆СОК:

CK² = CO² + OK² – 2 • CO • OK • cos∠COK = R² + R² – 2 • R • R • cos120° = 2R² – 2R² • cos(180° – 60°) = 2R² + 2R² • cos60° = 2R² + 2R² • $\frac{1}{2}$ = 2R² + R² = 3R².

За властивістю вписаного чотирикутника: ∠СМК = 180° – ∠А = 180° – 60° = 120°.

За теоремою косинусів з ∆СМК:

CK² = CM² + MK² – 2 • CM • MK • cos∠CMK = a² + b² – 2ab • cos120° = a² + b² – 2ab • cos(180° – 60°) = a² + b² + 2ab • cos60° = a² + b² + 2ab • $\frac{1}{2}$ = a² + b² + ab.

Прирівняємо праві частини одержаних рівностей:

3R² = a² + b² + ab| • 3; 9R² = 3(a² + b² + ab);

3R = $\sqrt{{3(a}^2+b^2+ab)}$; R = $\frac{\sqrt{{3(a}^2+b^2+\mathrm{ab})}}{3}$;

OM = 2R = $\frac{2\sqrt{{3(a}^2+b^2+\mathrm{ab})}}{3}$.

Відповідь: $\frac{2\sqrt{{3(a}^2+b^2+\mathrm{ab})}}{3}$.