Відповіді на вправи підручника: 593

593. Сторона трикутника дорівнює 21 см, а дві інші його сторони утворюють кут 60° і відносяться, як 3 : 8. Знайдіть невідомі сторони

та кути трикутника.

Нехай у трикутнику зі сторонами a, b, c і протилежними їм кутами α, β, γ а = 21 см, b : c = 3 : 8, α = 60°. Позначимо коефіцієнт пропорційності за х (х > 0), тоді b – 3x, c – 8x. За теоремою косинусів a² = b² + c² – 2bc cos α, 21² = 9x² + 64x² – 2 • 3x • 8x • cos60°, 441 = 73x² – 48x² • $\frac{1}{2}$, 441 = 73x² – 24x², 49x² = 441,

x² = $\frac{441}{49}$, x = $\frac{21}{7}$ = 3. Тоді b = 3 • 3 = 9 (см); с = 8 • 3 = 24 (см).

cos β = $\frac{a^2+c^2-b^2}{2\mathrm{ac}}$, cos β = $\frac{{21}^2+{24}^2-9^2}{2•21•24}$ = $\frac{936}{1008}$ ≈ 0,9286, (β ≈ 22°; γ = 180° – (60° + 22°) = 98°.

Відповідь: b = 9 cм, c = 24 cм, β = 22°, γ = 98°.