Відповіді на вправи підручника: 590

590. Площа трикутника АВС дорівнює 16 см², АС = 5 см, ВС = 8 см. Знайдіть сторону АВ.

Нехай у ∆АВС АС = 5 см, ВС = 8 см, S_∆ABC = 16см². Проведемо висоту ВН. Якщо ∠С – гострий:

1) S_∆ABC = $\frac{1}{2}$AC • BH, звідки ВН = $\frac{{2A}_{∆\mathrm{ABC}}}{\mathrm{AC}}$,

BH = $\frac{2•16}{5}$ = 6,4 (см);

2) із ∆ВНС (∠ВНС = 90°) sin∠C = $\frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{BC}}$,

sin∠C = $\frac{\mathrm{6,4}}{8}$ = 0,8; cos∠C = $\sqrt{{1-\sin }^2\angle C}$, cos∠C = $\sqrt{1-\mathrm{0,64}}$ = 0,6;

3) із ∆АВС АВ² = АС² + ВС² – 2АС • ВС • сos∠C,

AB² = 25 + 64 – 2 • 5 • 8 • 0,6, AB² = 41, AB = $\sqrt{41}$ (см).

Якщо ∠С – тупий, то cos ∠C = –0,6 тоді АВ² = 25 + 64 + 2 • 5 • 8 • 0,6 = 137; АВ = $\sqrt{137}$ (см).

Відповідь: $\sqrt{41}$ см або $\sqrt{137}$ см.