Відповіді на вправи підручника: 589

589. У рівнобедреному прямокутному трикутнику АВС гіпотенузу АВ

продовжено на довжину ВD = BC і точку D сполучено з точкою С.

Знайдіть сторони трикутника АDС, якщо катет ВС = а.

Нехай у ∆АВС ∠С = 90°, АС = ВС = а, т. D лежить на продовженні АВ і BD = BC = a. Знайдемо сторони ∆ADC.

1) із ∆АСВ АВ = ВС • $\sqrt{2}$, АВ = а$\sqrt{2}$; тоді AD = a$\sqrt{2}$ + a = a($\sqrt{2}$ + 1); ∠CBA = $\frac{90°}{2}$ = 45°;

2) ∠CBD = 180° – 45° = 135°; ∠BDC = ∠BCD = $\frac{180°-135°}{2}$ = 22°30’

(∆BCD рівнобедрений);

3) із ∆BCD $\frac{\mathrm{CD}}{\sin \angle \mathrm{CBD}}$ = $\frac{\mathrm{BD}}{\sin \angle \mathrm{BCD}}$, CD = $\frac{\mathrm{BD}•\sin \angle \mathrm{CBD}}{\sin \angle \mathrm{BCD}}$,

CD = $\frac{a\sin 135°}{\sin 22°30\text{'}}$ ≈ $\frac{a•\mathrm{0,7071}}{\mathrm{0,3827}}$ ≈ 1,8a.

Відповідь: а; а($\sqrt{2}$ + 1); 1,8а.