Відповіді на вправи підручника: 587 (1)

587. Знайдіть бісектриси трикутника АВС, якщо.

Нехай у трикутнику ABC AM, BL, CN – бісектриси.

1) якщо AC = 7 см, $\angle$A = 60°, $\angle$C = 40°, тоді $\angle$B = 180° – (60° + 40°) = 80°, $\angle$MAC = $\frac{1}{2}\angle$A, $\angle$MAC = $\frac{1}{2}$ • 60° = 30°, $\angle$AMC = 180° – ($\angle$MAC + $\angle$C), $\angle$AMC = 180° – (30° + 40°) = 110°.

Із ∆AMC: $\frac{\mathrm{AM}}{\sin \angle C}$ = $\frac{\mathrm{AC}}{\sin \angle \mathrm{AMC}}$, AM = $\frac{\mathrm{AC}•\sin \angle C}{\sin \angle \mathrm{AMC}}$,

AM = $\frac{7•\sin 40°}{\sin 110°}$ $\approx$ $\frac{7•\mathrm{0,6428}}{\mathrm{0,9397}}$ $\approx$ 4,8;

$\angle$NCA = $\frac{1}{2}\angle$A, $\angle$NCA = $\frac{1}{2}$ • 40° = 20°, $\angle$ANC = 180° – ($\angle$A + $\angle$NCA),

$\angle$ANC = 180° – (60° + 20°) = 100°;

Із ∆ANC: $\frac{\mathrm{NC}}{\sin \angle A}$ = $\frac{\mathrm{AC}}{\sin \angle \mathrm{ANC}}$, NC = $\frac{\mathrm{AC}•\sin \angle A}{\sin \angle \mathrm{ANC}}$, NC = $\frac{7•\sin 60°}{\sin 100°}$ $\approx$ $\frac{7•\mathrm{0,866}}{\mathrm{0,9848}}$ $\approx$ 6,2.

Із ∆ABC: $\frac{\mathrm{AB}}{\sin \angle C}$ = $\frac{\mathrm{AC}}{\sin \angle B}$, AB = $\frac{\mathrm{AC}•\sin \angle C}{\sin \angle B}$, AB = $\frac{7•\sin 40°}{\sin 80°}$ $\approx$ $\frac{7•\mathrm{0,6428}}{\mathrm{0,9848}}$ $\approx$ 4,6;

$\angle$ABL = $\frac{1}{2}\angle$B, $\angle$ABL = $\frac{1}{2}$ • 80° = 40°, $\angle$ALB = 180° – ($\angle$A + $\angle$ABL),

$\angle$ALB = 180° – (40° + 60°) = 80°;

Із ∆ABL: $\frac{\mathrm{BL}}{\sin \angle A}$ = $\frac{\mathrm{AB}}{\sin \angle \mathrm{ALB}}$, BL = $\frac{\mathrm{AB}•\sin \angle A}{\sin \angle \mathrm{ALB}}$, BL $\approx$ $\frac{\mathrm{4,6}•\mathrm{0,866}}{\sin 80°}$ $\approx$ $\frac{\mathrm{4,6}•\mathrm{0,866}}{\mathrm{0,9848}}$ $\approx$ 4.

Відповідь: АМ ≈ 4,8, NC ≈ 6,2, BL ≈ 4.

2) якщо BC = 5 см, $\angle$B = 45°, $\angle$C = 70°, тоді $\angle$A = 18° – (45° + 70°) = 65°, $\angle$LBC = $\frac{1}{2}\angle$B, $\angle$LBC = $\frac{1}{2}$ • 45° = 22°30’, $\angle$BLC = 180° – (22°30’ + 70°) = 87°30’.

Із ∆BLC: $\frac{\mathrm{BL}}{\sin \angle C}$ = $\frac{\mathrm{BC}}{\sin \angle \mathrm{BLC}}$, BL = $\frac{5•\sin 70°}{\sin 87°30\text{'}}$ $\approx$ $\frac{5•\mathrm{0,9397}}{\mathrm{0,999}}$ = 4,7;

$\angle$BCN = $\frac{1}{2}\angle$C, $\angle$BCN = $\frac{1}{2}$ • 70° = 35°, $\angle$BNC = 180° – (35° + 45°) = 100°.

Із ∆BNC: $\frac{\mathrm{NC}}{\sin \angle B}$ = $\frac{\mathrm{BC}}{\sin \angle \mathrm{BNC}}$, NC = $\frac{5•\sin 45°}{\sin 100°}$ $\approx$ $\frac{5•\mathrm{0,7071}}{\mathrm{0,9848}}$ $\approx$ 3,6.

Із ∆ABC: $\frac{\mathrm{AB}}{\sin \angle C}$ = $\frac{\mathrm{BC}}{\sin \angle A}$, AB = $\frac{\mathrm{BC}•\sin \angle C}{\sin \angle A}$, $\frac{5•\sin 70°}{\sin 65°}$ $\approx$ $\frac{5•\mathrm{0,9397}}{\mathrm{0,9063}}$ $\approx$ 5,2.

Із ∆ABM: $\angle$BAM = $\frac{1}{2}\angle$A, $\angle$BAM = $\frac{1}{2}$ • 65° = 32°30’, тоді

∠АМВ = 180° – (32°30’ + 45°) = 102°30’ і $\frac{\mathrm{AB}}{\sin \angle \mathrm{AMB}}$ = $\frac{\mathrm{AM}}{\sin \angle B}$,

AM = $\frac{\mathrm{AB}•\sin \angle B}{\sin \angle \mathrm{AMB}}$, AM = $\frac{\mathrm{5,2}•\sin 45°}{\sin 102°30’}$ ≈ $\frac{\mathrm{5,2}•\mathrm{0,7071}}{\mathrm{0,9763}}$ ≈ 3,8.

Відповідь: BL ≈ 4,7, NC ≈ 3,6, AM ≈ 3,8.