Відповіді на вправи підручника: 585

585. Обчисліть невідомі сторони й кути трикутника, якщо.

За доведеним у задачі m_a = $\frac{1}{2}\sqrt{{2b}^2+{2c}^2-a^2}$,

m_b = $\frac{1}{2}\sqrt{{2a}^2+{2c}^2-b^2}$, m_c = $\frac{1}{2}\sqrt{{2a}^2+{2b}^2-c^2}$. Звідки:

Відповідь: c $\approx$ 28; $\alpha$ = 11°; $\beta$ = 39°; $\gamma$ = 130°.

1) якщо a = 15,c = 18, m_b = 11,3, то

11,3 = $\frac{1}{2}\sqrt{{2•15}^2+{2•18}^2-b^2}$; 127,69 = $\frac{1}{4}$(450 + 648 – b²),

b² = 1098 – 510,76, b² = 587,24, b $\approx$ 24;

cos $\beta$ = $\frac{a^2+c^2-b^2}{2\mathrm{ac}}$, cos $\beta$ = $\frac{{15}^2+{18}^2-{24}^2}{2•15•18}$ = $\frac{-27}{540}$ = –0,05, $\beta$ $\approx$ 93°;

cos $\alpha$ = $\frac{b^2+c^2-a^2}{2\mathrm{bc}}$, cos $\alpha$ = $\frac{{24}^2+{18}^2-{15}^2}{2•18•24}$ = $\frac{675}{864}$ $\approx$ 0,7813,

$\alpha$ $\approx$ 39°; $\gamma$ = 180° – ($\alpha$ + $\beta$), $\gamma$ = 180° – (39° + 93°), $\gamma$ = 48°.

Відповідь: b = 24; $\beta$ = 93°; $\alpha$ = 39°; $\gamma$ = 48°.

2) якщо a= 14, b = 15, m_c = 12,3, то 12,3 = $\frac{1}{2}$ $\sqrt{{2•13}^2+{2•15}^2-{с}^2}$,

24,6 = $\sqrt{{788-с}^2}$, 605,16 = 788 – с², с² = 182,84, с $\approx$ 13,5;

cos $\gamma$ = $\frac{{13}^2+{15}^2-\mathrm{182,84}}{2•13•15}$ = $\frac{\mathrm{211,16}}{390}$ $\approx$ 0,5414, $\gamma$ $\approx$ 57°;

$\frac{a}{\sin \alpha }$ = $\frac{c}{\sin \gamma }$, sin $\alpha$ = $\frac{\mathrm{asin}\gamma }{c}$, sin $\alpha$ $\approx$ $\frac{13•\sin 57°}{\mathrm{13,5}}$ $\approx$ $\frac{13•\mathrm{0,8387}}{\mathrm{13,5}}$ $\approx$ 0,8076,

$\alpha$ $\approx$ 54°; $\beta$ = 180° – (57° + 54°) = 69°.

Відповідь: c $\approx$ 13,5; $\alpha$ = 54°; $\beta$ = 69°; $\gamma$ = 57°.