Відповіді на вправи підручника: 582

582. а, b, с — сторони трикутника, α, β, γ — його кути. Накресліть у зошиті таблицю 20 і заповніть її.

У першому завданні знайдемо елементи за трьома сторонами, у другому – за стороною і прилеглими кутами, у третьому – за двома сторонами і кутом між ними, у четвертому – за двома сторонами і кутом, що лежить проти однієї з них, отже:

1) якщо a = 5, b = 4, c = 8, то cosα = $\frac{b^2+c^2-a^2}{2\mathrm{bc}}$, cosα = $\frac{16+64-25}{2•4•8}$ ≈ 0,8594, α ≈ 31°; cosβ = $\frac{a^2+c^2-b^2}{2\mathrm{ac}}$, cosβ = $\frac{25+64-16}{2•5•8}$ = 0,9125,

β ≈ 24°; γ = 180° – (31° + 24°) = 125°.

Відповідь: α = 31°; β = 24°, γ = 125°.

2) якщо а = 3, β = 35°, γ = 30°, то α = 180° – (35° + 30°) = 115°;

$\frac{a}{\sin \alpha }$ = $\frac{b}{\sin \beta }$ , b = $\frac{a\sin \beta }{\sin \alpha }$, b = $\frac{3•\sin 35°}{\sin 115°}$ ≈ $\frac{3•\mathrm{0,5736}}{\mathrm{0,9063}}$ ≈ 1,9;

$\frac{a}{\sin \alpha }$ = $\frac{c}{\sin \gamma }$, c = $\frac{a\sin \gamma }{\sin \alpha }$, c ≈ $\frac{3•\sin 30°}{\sin 115°}$ ≈ $\frac{3•\mathrm{0,5}}{\mathrm{0,9063}}$ ≈ 1,7.

Відповідь: α = 115°, b = 1,9, c = 1,7.

3) якщо а = 2, с = 4, β = 40°, то b = $\sqrt{a^2+c^2-2\mathrm{ac}\cos \beta }$,

b ≈ $\sqrt{4+16-2•2•4•\cos 40°}$ ≈ $\sqrt{20-16•\mathrm{0,766}}$ = $\sqrt{\mathrm{7,744}}$ ≈ 2,8;

$\frac{b}{\sin \beta }$ = $\frac{a}{\sin \alpha }$, sin α = $\frac{a\sin \beta }{b}$ sin α ≈ $\frac{2•\sin 40°}{\mathrm{2,8}}$ ≈ $\frac{2•\mathrm{0,6428}}{\mathrm{2,8}}$ ≈ 0,4591,

α ≈ 27°; γ = 180° – (40° + 27°) = 113°.

Відповідь: b = 2,8, α = 27°, γ = 113°.

4) якщо b = 5, c = 8, γ = 20°, то $\frac{c}{\sin \gamma }$ = $\frac{b}{\sin \beta }$, sin β = $\frac{b\sin \gamma }{c}$,

sinβ ≈ $\frac{5•\sin 20°}{8}$ ≈ $\frac{5•\mathrm{0,342}}{8}$ ≈ 0,21375, β ≈ 12°; α = 180° – (20° + 12°) – 148°;

$\frac{a}{\sin \alpha }$ = $\frac{c}{\sin \gamma }$, a = $\frac{c\sin \alpha }{\sin \gamma }$, a = $\frac{8•\sin 148°}{\sin 20°}$ ≈ $\frac{8•\mathrm{0,5299}}{\mathrm{0,342}}$ ≈ 12,4.

Відповідь: а ≈ 12,4; β = 12°, α = 148°.