Відповіді на вправи підручника: 586

586. Діагоналі паралелограма дорівнюють d₁ і d₂, а кут між ними — $\alpha$. Знайдіть сторони паралелограма, якщо.

Нехай у паралелограмі ABCD AC = d₁, BD = d₂ і О – точка їх перетину, $\angle$BOA = $\alpha$.

Тоді BO = OD = $\frac{d_2}{2}$, AO = OC = $\frac{d_1}{2}$.

Із ∆АВО: АВ² = ($\frac{d_1}{2}$)² + ($\frac{d_2}{2}$)² – 2 • $\frac{d_1}{2}$ • $\frac{d_2}{2}$ cos $\alpha$. Із ∆AOD (де $\angle$AOD = 180° – $\alpha$):

АD² = ($\frac{d_1}{2}$)² + ($\frac{d_2}{2}$)² – 2 • $\frac{d_1}{2}$ • $\frac{d_2}{2}$ cos(180° – $\alpha$),

АD² = ($\frac{d_1}{2}$)² + ($\frac{d_2}{2}$)² + $\frac{{d_{1}d}_2}{2}$ cos $\alpha$. Отже,

1) якщо d₁ = 12 см, d₂ = 6 см, $\alpha$ = 35°, то

АВ² = 6² + 3² – 2 • 6 • 3cos 35°,

AB² $\approx$ 36 + 9 – 36 • 0,8192, AB² $\approx$ 15,5088, AB $\approx$ 3,9;

AD² = 6² + 3² + 36 • cos 35°,

AD² = 36 + 9 + 36 • 0,8192, AD² $\approx$ 74,4912, AD $\approx$ 8,6.

Відповідь: 3,9 і 8,6.

2) якщо d₁ = 4 см, d₂ = 10 см, $\alpha$ = 140°, то

АВ² = 2² + 5² – 2 • 2 • 5cos 140°,

AB² = 29 + 20 • 0,766, AB² = 44,32, AB $\approx$ 6,7;

AD² = 2² + 5² + 2 • 2 • 5cos 140°,

AD² = 29 – 20 • 0,766, AD² = 13,68, AD $\approx$ 3,7.

Відповідь: 6,7 і 3,7.