Відповіді на вправи підручника: 595

595. У трикутнику АВС АВ = 2 см, АС = 5 см, ВС = 6 см. Знайдіть

відстань від вершини В до точки перетину висот трикутника.

Оскільки BC² > AC² + AB², то ∆АВС – тупокутний з тупим кутом А. Проведемо висоти ∆АВС АН, BN, CK, продовження яких перетинаються в точці О.

Із ∆САВ cos∠ACB = $\frac{{\mathrm{AC}}^2+{\mathrm{BC}}^2-{\mathrm{AB}}^2}{2\mathrm{AC}•\mathrm{BC}}$,

cos∠ACB = $\frac{25+36-4}{2•5•6}$ = $\frac{57}{60}$.

Із ∆АНВ (∠АНВ = 90°): AH² = AB² – HB², AH² = 4 – HB²;

із ∆АНС (∠АНС = 90°): АН² = СА² – НС²; оскільки НС = 6 – НВ, то

АН² = 25 – (6 – НВ)²; 4 – НВ² = 25 – (36 – 12НВ + НВ²),

4 – НВ² = 25 – 36 + 12НВ – НВ², 12НВ = 15, НВ = $\frac{5}{4}$ см. Розглянемо ∆САН і ∆OAN – прямокутні, ∠САН = ∠OAN (вертикальні), тоді ∠АСВ = ∠AON = $\frac{57}{60}$, sin ∠AON = $\sqrt{{1-\cos }^2\angle \mathrm{AON}}$,

sin ∠AON = $\sqrt{1-(\frac{57}{60}{)}^2}$ = $\frac{\sqrt{39}}{20}$.

Із ∆ОНВ (∠ОНВ = 90°): ОВ = $\frac{\mathrm{HB}}{\sin \angle \mathrm{HOB}}$ = $\frac{\mathrm{HB}}{\sin \angle \mathrm{AON}}$;

OB = $\frac{5}{4}$ : $\frac{\sqrt{39}}{20}$ = $\frac{5•20}{4\sqrt{39}}$ = $\frac{25\sqrt{39}}{39}$ (см).

Відповідь: $\frac{25\sqrt{39}}{39}$ см.