Відповіді на вправи підручника: 597

597. У рівнобедреному трикутнику АВС АВ = АС = b, а ∠А = 30° (мал. 171). Пряма, що проходить через вершину В і центр О описаного кола, перетинає сторону АС в точці D. Знайдіть довжину відрізка ВD.

У рівнобедреному трикутнику центр описаного кола лежить на бісектрисі (медівні, висоті), проведеній до основи, тоді АО – відрізок бісектриси ∠А. ∆АОВ – рівнобедрений (АО = ОВ як радіуси), а отже, ∠ВАО = ∠АВО; ∠ВАО = $\frac{1}{2}$∠А = 15°, ∠АВО= 15°, ∠ADB = 180° – (30° + 15°) = 135°. Із ∆ABD $\frac{\mathrm{BD}}{\sin \angle A}$ = $\frac{\mathrm{AB}}{\sin \angle \mathrm{ADB}}$, BD = $\frac{\mathrm{AB}•\sin \angle A}{\sin \angle \mathrm{ADB}}$,

BD = $\frac{\mathrm{bsin}30°}{\sin 135°}$ = $\frac{b•\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ = $\frac{b}{\sqrt{2}}$ = $\frac{b\sqrt{2}}{2}$.

Відповідь: $\frac{b\sqrt{2}}{2}$.