Відповіді на вправи підручника: 594

594. Основи трапеції дорівнюють 60 см і 18 см, а бічні сторони — 28 см і 35 см. Обчисліть кути трапеції.

Нехай у трапеції ABCD (BC ∥ AD) AB = 28 см, ВС = 18 см, CD = 35 см, AD = 60 см. Проведемо висоти ВН і СК. Тоді ВН ∥ СК і НК = 18 см. Позначимо KD – х см, тоді АН – (60 – 18 – х) = (42 – х) см.

Із ∆CRD: (∠CKD = 90°) CK² = CD² – KD², CK² = 35² – x²; із ∆АВН (∠АНВ = 90°): ВН² = АВ² – АН²,

ВН² = 28² – (42 – х)². Оскільки ВН = СК, то 35² – х² = 28² – (42 – х)², 1225 – х² = 784 – (1764 – 84х + х²),

1225 – х² = 784 – 1764 + 84х – х²,

84х = 1225 + 1764 – 784, 84х = 2205, х = 26,25.

Тоді KD = 26,25 см, АН = 15,75 см.

Із ∆ABH: cos ∠A = $\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AB}}$, cos ∠A = $\frac{\mathrm{15,75}}{28}$ = 0,5625, ∠A ≈ 56°; тоді

∠В = 180° – ∠А, ∠В = 180° – 56° = 124°; із ∆CKD cos ∠D = $\frac{\mathrm{KD}}{\mathrm{CD}}$, cos

∠D = $\frac{\mathrm{26,25}}{35}$ = 0,75, ∠D ≈ 41°30’, ∠C = 180° – 41°30’ = 138°30’.

Відповідь: ∠A = 56°, ∠B = 124°, ∠D = 41°30’, ∠C = 138°30’.