Відповіді на вправи підручника: 567

567. Для сторін трикутника виконується рівність. Доведіть, що один із кутів трикутника дорівнює 60°.

Якщо в трикутнику зі сторонами a, b, c виконується рівність

$\frac{a^2-(b-{c)}^2}{\mathrm{bc}}$ = 1, то $\frac{a^2-b^2+2\mathrm{bc}-c^2}{\mathrm{bc}}$ = 1; а² – b² + 2bc – c² = bc,

а² = b² + c² – bc.

Для цього трикутника за теоремою косинусів a² = b² + c² – 2bc cos $\alpha$, тоді 2bc cos $\alpha$ = bc, 2 cos $\alpha$ = 1, cos $\alpha$ = $\frac{1}{2}$, отже, $\alpha$ = 60°. Що й треба було довести.