Відповіді на вправи підручника: 564

564. Бісектриса кута паралелограма ділить його сторону на відрізки

завдовжки 5 см. Знайдіть діагональ паралелограма, якщо друга

його діагональ дорівнює 9 см.

Нехай у паралелограмі ABCD AK – бісектриса і BK = KC = 5 см, BD = 9 см. ∆ABK – рівнобедрений, де AB = BK = 5 см ($\angle$BKA = $\angle$KAD – внутрішні різносторонні при BC AD і січні AK, $\angle$BAK = $\angle$KAD, оскільки AK – бісектриса). Тоді у паралелограмі ABCD

AB = 5 см, BC = AD = 10 см.

Із ∆ABD: cos$\angle$A = $\frac{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AD}}^2-{\mathrm{BD}}^2}{2\mathrm{AB}•\mathrm{AD}}$,

cos$\angle$A = $\frac{5^2+{10}^2-9^2}{2•5•10}$ = $\frac{25+100-81}{100}$ = 0,44.

У ∆АВС: $\angle$B = 180° – $\angle$A (сума кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, 180°). За теоремою косинусів

АС² = AB² + BC² – 2AB • BC • cos$\angle$B, AC² = 5² + 10² – 2 • 5 • 10 • cos(180° – $\angle$A), АС² = 125 + 100cos $\angle$A = 125 + 100 • 0,44 = 169,

AC = $\sqrt{169}$ = 13 (см).

Відповідь: 13 см.