Відповіді на вправи підручника: 561

561. Доведіть, що медіану трикутника можна обчислити за формулою.

Нехай у ∆ABC (AC = b, AB = c, BC = a) проведено медіану AM = m_a,

Тоді MC = MB = $\frac{a}{2}$.

Із ∆ABC: sin$\angle$C = $\frac{a^2+b^2-c^2}{2\mathrm{ab}}$.

Із ∆MCA: MA² = MC² + AC² – 2MC • AC • cos$\angle$C,

$m_a^2$= ($\frac{a}{2}$)² + b² – 2 • $\frac{a}{2}$ • b • $\frac{a^2+b^2-c^2}{2\mathrm{ab}}$ = $\frac{a^2}{4}$ + b² – $\frac{a^2+b^2-c^2}{2}$ = $\frac{a^2+{4b}^2-{2a}^2-{2b}^2+{2c}^2}{4}$ = $\frac{{2b}^2+{2c}^2-a^2}{4}$, тоді m_a = $\sqrt{\frac{{2b}^2+{2c}^2-a^2}{4}}$ = $\frac{1}{2}\sqrt{{2b}^2+{2c}^2-a^2}$.

Отже, m_a = $\frac{1}{2}$ $\sqrt{{2b}^2+{2c}^2-a^2}$, що й треба було довести.