Відповіді на вправи підручника: 563

563. Сторона трикутника дорівнює 26 см, а медіани, проведені до двох інших сторін, дорівнюють 15 см і 30 см. Знайдіть третю медіану

трикутника.

Нехай у ∆ABC BC = 26 см, медіана CL = 30 см, BM = 15 см, О – точка перетину цих медіан. Проведемо медіану AK, вона пройде через т. О, оскільки медіани трикутника перетинаються в одній точці і діляться нею у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини. Тоді ОС = 20 см, OL = 10 см, BO = 10 см, OM = 5 см. Оскільки У – середина BC, то

BK = 13 см.

Із ∆BOC: cos$\angle$OBC = $\frac{{\mathrm{BO}}^2+{\mathrm{BC}}^2-{\mathrm{OC}}^2}{2\mathrm{BO}•\mathrm{BC}}$,

cos$\angle$OBC = $\frac{{10}^2+{26}^2-{20}^2}{2•10•26}$ = $\frac{100+676-400}{520}$ = $\frac{376}{520}$ = $\frac{37}{65}$;

Із ∆BOK: OK² = BO² + BK² – 2BO • BK • cos$\angle$OBK,

OK² = 10² + 13² – 2 • 10 • 13 • $\frac{37}{65}$ = 100 + 169 – 148 = 121,

ОК = 11 см. AK = 3 • ОК, AK = 33 см.

Відповідь: 33 см.