Відповіді на вправи підручника: 566

566. У колі з центром O хорда AB паралельна діаметру CD (мал. 149). На діаметрі або його продовженні позначено довільну точку M.

Доведіть, що сума AM² + BM² не залежить від положення хорди

при заданому положенні точки M.

Доведення.

Нехай $\angle$ВОМ = $\alpha$, тоді $\angle$АОМ = 180° – $\alpha$.

OA = OB = R.

За теоремою косинусів з ∆АОМ:

AM² = OM² + OA² – 2 • OM • OA • cos $\angle$AOM =

= OM² + R² – 2OM • R • cos(180° – $\alpha$) = ОМ² + R² + 2OM • R • cos $\alpha$.

За теоремою косинусів з ∆ВОМ:

BM² = OM² + OB² – 2 • OM • OB • cos$\angle$BOM = OM² + R² – 2 • OM • R • cos $\alpha$.

Додамо почленно одержані рівності:

АМ² + BM² = 2OМ² + 2R².

Отже, AM² + BM² не залежить від положення хорди. Доведено.