Відповіді на вправи підручника: 565

565. До даного кола радіуса R дотикаються два рівні менші кола радіуса r: одне — зсередини, друге — зовні. Дуга між точками дотику містить 60°. Знайдіть відстань між центрами менших кіл.

Нехай до кола з центром О радіус R дотикаються кола з радіусом r (r < R) з центром O₁ – зсередини, з центром О₂ – зовні. Відповідні точки дотику з більшим колам А і B, OA = R = OB, AO₂ = BO₂ = r.

$\cup$AB = 60°, тоді центральний кут $\angle$АОВ = 60°.

OO₂ = OB = BO₂, OO₂ = R + r;

OO₁ = OA – O₁A, OO₁ = R – r.

У ∆OO₁O₂: O₁$O_2^2$ = ${\mathrm{OO}}_2^2$ + ${\mathrm{OO}}_1^2$ – 2OO₂ • OO₁ • cos$\angle$O,

O₁$O_2^2$ = (R + r)² + (R – r)² – 2 • (R + r)(R – r)cos 60°,

O₁$O_2^2$ = R² + 2Rr + r² + R² – 2Rr + r² – 2(R² – r²) • $\frac{1}{2}$ = 2R² + 2r² – R² + r² = R² + 3r². O₁O₂ = $\sqrt{R^2+{3r}^2}$.

Відповідь: $\sqrt{R^2+{3r}^2}$.