Відповіді на вправи підручника: 552

552. Знайдіть невідому сторону трикутника ABC, якщо:

1) a = 5 см, b = 7 см, sin C = 0,8; 2) b = 4 см, c = 10 см, sin A = 0,6.

Скільки розв’язків має задача?

1) Для невідомої сторони с за теоремою косинусів c² = a² + b² – 2ab cos C. Знайдемо cos C за даним sin C = 0,8:

cos C = $\pm$ $\sqrt{1-{\sin }^{2}C}$, тоді cos C = $\pm$ $\sqrt{1-\mathrm{0,64}}$, cos = $\pm$0,6.

Якщо cos C = 0,6, a = 5 см, b = 7 см, то с² = 25 + 49 – 2 • 5 • 7 • 0,6, c² = 32, c = $\sqrt{32}$ = 4$\sqrt{2}$ см; якщо cos C = –0,6, то c² = 25 + 49 – 49 – 2 • 5 • 7 • (–0,6), c² = 116, c = $\sqrt{116}$ см = 2$\sqrt{29}$ см.

2) Для невідомої сторони a за теоремою косинусів a² = b² + c² – 2ab cos A. Знайдемо cos A: cos A = $\pm$ $\sqrt{1-{\sin }^{2}A}$.

Якщо sin A = 0,6, то cos A = $\pm$ $\sqrt{1-\mathrm{0,36}}$, cos = $\pm$0,8.

Якщо b = 4 см, с = 10 см, cos A = 0,8, то

a² = 16 + 100 – 2 • 4 • 10 • 0,8, a² = 52, a = $\sqrt{52}$ см = 2$\sqrt{13}$ см.

Якщо b = 4 см, с = 10 см, cos A = –0,8, то

a² = 16 + 100 – 2 • 4 • 10 • (–0,8), a² = 180, a = 6$\sqrt{5}$ см.

Відповідь: 1) 4$\sqrt{2}$ см або 2$\sqrt{29}$ см; 2) 2$\sqrt{13}$ см або 6$\sqrt{5}$ см.