Відповіді на вправи підручника: 550

550. У паралелограмі ABCD AB = 6 см, AD = 10 см. Знайдіть діагоналі паралелограма, якщо кут A дорівнює: 1) 60°; 2) 48°; 3) 125°.

Із ∆ABD за теоремою косинусів маємо:

BD² = AB² + AD² – 2AB • AD • cos $\angle$A,

BD² = 36 + 100 – 2 • 6 • 10 cos $\angle$A,

BD² = 136 – 120 cos $\angle$A.

У ∆ACD $\angle$D = 180° – $\angle$A (кут при одній стороні паралелограма). Тоді

AC² = AD² + CD² – 2AD • CD • cos $\angle$D;

AC² = AD² + CD² – 2AD • CD • cos(180° – $\angle$A);

AC² = AD² + CD² + 2AD • CD • cos $\angle$A.

Отже, AC² = 100 + 36 + 2 • 10 • 6 cos $\angle$A, AC² = 136 + 120 cos $\angle$A.

1) Якщо $\angle$A = 60°, то BD² = 136 – 120 cos 60° = 136 – 120 • $\frac{1}{2}$ = 76;

BD = 2$\sqrt{19}$ см, AC² = 136 + 120 cos 60°, AC² = 136 + 120 • $\frac{1}{2}$ = 196; AC = 14 см.

2) якщо $\angle$A = 48°, то BD² = 136 – 120 • cos 48°,

BD² $\approx$ 136 – 120 • 0,6691 $\approx$ 55,7; BD $\approx$ 7,5 см.

AC² $\approx$ 136 + 120 • 0,6691 $\approx$ 216,3; AC $\approx$ 14,7 см.

3) якщо $\angle$A = 125, то BD² = 136 – 120 • cos 125°,

BD² $\approx$ 136 – 120 • (–0,5736) $\approx$ 136 – 120 • cos 125°,

AC² = 136 + 120 • (–0,5736) = 136 – 68,832 = 67,168, AC $\approx$ 8,2 см.

Відповідь: 1) 2$\sqrt{19}$ см і 14 см; 2) 7,5 см і 14,7 см; 3) 14,3 см і 8,2 см.