Відповіді на вправи підручника: 551

551. Катети прямокутного трикутника ABC дорівнюють: AC = 4 см,

BC = 3 см. На катеті BC побудовано рівносторонній трикутник BCD.

Знайдіть довжину відрізка AD (розгляньте два випадки).

І випадок. Добудуємо на катеті BC рівносторонній ∆BCD зовні ∆BCA.

Якщо AC = 4 см, BC = 3 см, то DC = BC = 3 см. Кути ∆BDC дорівнюють 60°, $\angle$DCB = 60°.

За умовою $\angle$BCA = 90°, тоді $\angle$DCA = 90° + 60° = 150°.

Із ∆DCA DA² = DC² + CA2 – 2DC • CA cos $\angle$DCA,

DA² = 3² + 4² – 2 • 3 • 4 • cos 150°,

DA² = 25 – 24 • cos (90° + 60°) = 25 + 24 • sin 60° = 25 + 24 • $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = 25 + 12$\sqrt{3}$;

DA = $\sqrt{25+12\sqrt{3}}$ см.

ІІ випадок. добудуємо на катеті BC рівносторонній ∆BD₁C всередині ∆BCA. D₁C = BC = 3 см, $\angle$BCD₁ = 60°, тоді $\angle$D₁CA = 90° – 60° = 30°.

Із ∆D₁CA D₁A² = D₁C² + CA² – 2D₁C • CA • cos $\angle$D₁CA;

D₁A² = 3² + 4² – 2 • 3 • 4 cos 30°; D₁A² = 25 – 24 • $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = 25 – 12$\sqrt{3}$;

D₁A = $\sqrt{25-12\sqrt{3}}$ см.

Відповідь: $\sqrt{25+12\sqrt{3}}$ см або $\sqrt{25-12\sqrt{3}}$ см.