Відповіді на вправи підручника: 517

517. Виведіть формули для обчислення довжин відрізків, на які бісектриси кутів трикутника ABC ділять його протилежні сторони.

Доведення. Нехай у ∆ABC BL – бісектриса $\angle$B = $\alpha$, тоді $\angle$ABL = $\angle$CBL = $\frac{\alpha }{2}$. Нехай $\angle$ALB = $\beta$, тоді $\angle$CBL = 180° – $\beta$ (як суміжний для $\angle$ALB). За теоремою синусів із ∆ABL: $\frac{\mathrm{AL}}{\sin \frac{\alpha }{2}}$ = $\frac{\mathrm{AB}}{\sin \beta }$;

із ∆CBL: $\frac{\mathrm{LC}}{\sin \frac{\alpha }{2}}$ = $\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{si}(180°-\beta )}$, $\frac{\mathrm{LC}}{\sin \frac{\alpha }{2}}$ = $\frac{\mathrm{BC}}{\sin \beta }$.

AL = $\frac{\mathrm{ABsin}\frac{\alpha }{2}}{\sin \beta }$, LC = $\frac{\mathrm{BC}\sin \frac{\alpha }{2}}{\sin \beta }$, а відношення AL : LC = $\frac{\mathrm{AB}\sin \frac{\alpha }{2}}{\sin \beta }$ : $\frac{\mathrm{BC}\sin \frac{\alpha }{2}}{\sin \beta }$, AL : LC = $\frac{\mathrm{AB}\sin \frac{\alpha }{2}}{\sin \beta }$ • $\frac{\sin \beta }{\mathrm{BC}\sin \frac{\alpha }{2}}$, AL : LC = AB : BC, тобто відрізки AL і LC пропорційні прилеглим сторонам. Що й треба було довести.