Відповіді на вправи підручника: 515

515. У рівнобічній трапеції менша основа дорівнює бічній стороні, більша основа дорівнює 10 см, а кут при основі — 70°. Знайдіть периметр трапеції.

Нехай задано трапецію ABCD, у якій

AB = BC = CD, AD = 10 см, $\angle$BAD = 70°. Проведемо діагональ AC. Оскільки ∆ABC рівнобедрений (AB = BC), то $\angle$BAC = $\angle$BCA, a $\angle$BCA = $\angle$DAC (внутрішні різносторонні при BC $\parallel$ AD і січній AC).

Тоді $\angle$BAC = $\angle$CAD = 35°. У ∆ACD $\angle$CDA = 70°, $\angle$CAD = 35°, тоді $\angle$ACD = 180° – (70° + 35°) = 180° – 105° = 75°. За теоремою синусів $\frac{\mathrm{AD}}{\sin \angle \mathrm{ACD}}$ = $\frac{\mathrm{CD}}{\sin \angle \mathrm{CAD}}$, звідки

CD = $\frac{\mathrm{AD}•\sin \angle \mathrm{CAD}}{\sin \angle \mathrm{ACD}}$. CD = $\frac{10\mathrm{см}•\sin 35°}{\sin 75°}$ $\approx \frac{10\mathrm{см}•\mathrm{0,5736}}{\mathrm{0,9659}}$ $\approx$ 5,94 см.

P_ABCD = 3CD + AD, P_ABCD $\approx$ 3 • 5,94 + 10 $\approx$ 27,8 (см).

Відповідь: 27,8 см.